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자연수 $A, B$ 의 최대공약수를 $G$ (또는 $gcd$ )라고 하고 최소공배수를 $L$ (또는 $lcm$ ),
그리고 $A$ 와 $B$ 를 소인수분해 해서 서로소가 된 마지막에 남은 소인수를 각각 $a$ 와 $b$ 라고 하면
$A = Ga, B = Gb \\ L = Gab \\ AB = GaGb = GGab = GL$

문자를 사용한 식

음수에 음수를 곱하면 양수가 된다.
문자를 사용한 식에서 수와 문자, 문자와 문자 사이에 곱셈 표시는 생략할 수 있다.
수와 문자 곱은 수를 앞에 쓴다. $a * 2 = 2a$
$1$ 과 문자, $-1$ 과 문자 곱은 $1$ 을 생략한다. $1 * a = a, -1 * a = -a$
문자와 문자 곱은 보통 알파벳순으로 쓴다. $b * a = ab$
같은 문자의 합은 수와 문자의 곱으로 쓴다. $a + a = 2a$
같은 문자의 곱은 거듭제곱으로 쓴다. $a * a = a^2$
괄호 식과 수의 곱은 수를 앞에 쓴다. $( a * b ) * 2 = 2( ab )$
나눗셈은 역수의 곱으로 바꾼 뒤 곱셈 표시를 생략하거나 분수로 쓴다. $a \div 2 = a * {\Large{1 \over 2}} = {\Large{1 \over 2}}a = {\Large{a \over 2}}$

대입(代入)

문자를 포함한 식에서 문자 대신 수를 넣는 것. 이를 다루는 것을 통틀어 대수학(代數學)이라 한다.

식의 값

식의 문자에 어떤 수를 대입하여 구한 값

괄호 식의 곱

-a^2 = ( -1 ) * a * a \\ ( -a )^2 = ( -a ) * ( -a ) = a^2

항

수 또는 문자의 곱으로 이루어진 식

상수항

수로만 이루어진 항

계수

항에서 문자에 곱해져 있는 수

다항식

한 개 이상의 항의 합으로 이루어진 식

단항식

다항식 중에서 한 개의 항으로 이루어진 식

차수

어떤 항에서 곱해진 문자의 개수

다항식의 차수

다항식에서 차수가 가장 큰 항의 차수

일차식

차수가 1인 다항식

분배법칙

덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙
$( a + b ) * c = ( a * c ) + ( b * c ) \\ c * ( a + b ) = ( c * a ) + ( c * b )$

일차식과 수의 곱셈

분배법칙을 이용하여 일차식의 각 항에 수를 곱한다.

\begin{aligned} 2( 3x + 4 ) &= 2 * 3x + 2 * 4 \\ &= 6x + 8 \end{aligned}

일차식과 수의 나눗셈

분배법칙을 이용하여 나누는 수의 역수를 일차식에 곱한다.

\begin{aligned} ( 6x - 9 ) \div 3 &= ( 6x - 9 ) * { 1 \over 3 } \\ &= 6x * { 1 \over 3 } - 9 * { 1 \over 3 } \\ &= 2x - 3 \end{aligned}

동류항

다항식에서 문자와 차수가 각각 같은 항
상수항끼리는 모두 동류항이다.
$( 2x + 3 + 4x - 5 )$ → $2x와 4x, 3과 5$

동류항의 덧셈과 뺄셈

동류항의 계수끼리 더하거나 뺀 후 문자 앞에 쓴다. 이때 분배법칙을 이용한다.
$2x + 3x = ( 2 + 3 )x = 5x \\ 5a - 2a = ( 5 - 2 )a = 3a$

일차식의 덧셈과 뺄셈

괄호가 있으면 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다.
동류항끼리 모은 뒤 계산하여 정리한다.

\begin{aligned} ( 2x + 1 ) + 3( 5x - 2 ) &= 2x + 1 + 15x - 6 \\ &= 2x + 15x + 1 - 6 \\ &= 17x - 5 \end{aligned}

지수법칙

$a \ne 0$ 이고 $m, n$ 이 자연수일 때
지수의 덧셈
$a^m * a^n = a^{m + n}$
$a^3 * a^2 = ( a * a * a ) * ( a * a ) = a^5$
지수의 곱셈
$( a^m )^n = a^{mn}$
$( a^2 )^3 = ( a * a ) * ( a * a ) * ( a * a ) = a^6$
지수의 뺄셈
$a^m \div a^n = a^{ m-n }$
$a^5 \div a^3 = { \large { aaaaa \over aaa } } = aa = a^2$
$a^m \div a^m = a^0 = 1$
$a^3 \div a^3 = { \large { a^3 \over a^3 } } = 1$
지수의 분배
$( ab )^m = a^mb^m$
$( ab )^3 = ababab = a^3b^3$
$( { \large { b \over a } } )^m = { \large { b^m \over a^m } }$
$( { \large { b \over a } } )^3 = { \large { b \over a } }{ \large { b \over a } }{ \large { b \over a } } = { \large { b^3 \over a^3 } }$

단항식의 곱셈 나눗셈

( 2a )^3 * 3a = 8a^3 * 3a = 24a^4 \\ 12ab \div 4a = { 12ab \over 4a } = 3b \\ 12ab \div { 4 \over a } = 12ab * { a \over 4 } = 3a^2b

다항식의 덧셈 뺄셈

a + ( b - c ) = a + b - c \\ a - ( b - c ) = a - b + c

곱셈 공식

( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2 ← 중요 \\ ( a - b )^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\ ( a + b )( a - b ) = a^2 - b^2 ← 중요 \\ ( x + a )( x + b ) = x^2 + ( a + b )x + ab ← 중요 \\ ( ax + b )( cx + d ) = acx^2 + ( ad + bc )x + bd

곱셈 공식 변형

$a + b, ab$ 의 값이 주어진 경우
$a^2 + b^2 = ( a + b )^2 - 2ab ← 중요 \\ ( a - b )^2 = ( a + b )^2 - 4ab$
$a - b, ab$ 의 값이 주어진 경우
$a^2 + b^2 = ( a - b )^2 + 2ab \\ ( a + b )^2 = ( a - b )^2 + 4ab$

인수분해

하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 나타내는 것
이를 반대로 합 형태로 만드는 것을 전개라고 한다.

\begin{aligned} 3x^2 - 6x &= 3 * x * x - 2 * 3 * x \\ &= 3x * x - 2 * 3x \\ &= 3x(x - 2) \end{aligned}

완전제곱식

다항식의 제곱으로 된 식이나 이 식에 상수를 곱한 식
$a^2 + 2ab + b^2 = ( a + b )^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 = ( a - b )^2$

완전제곱식의 조건

$x^2 + 6x + \Box$ 가 완전제곱식이 되려면 $\Box$ 는 6의 반의 제곱
$\Box = ( \large { 6 \over 2 } )^2 = 9$
$x^2 + \Box x + 4^2$ 이 완전제곱식이 되려면 $\Box$ 는 4의 2배
$\Box = 2 * ( \pm 4 ) = \pm 8$

인수분해 공식

a^2 + 2ab + b^2 = ( a + b )^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 = ( a - b )^2 \\ a^2 - b^2 = ( a + b )( a - b ) \\ x^2 + ( a + b )x + ab = ( x + a )( x + b ) \\ acx^2 + ( ad + bc )x + bd = ( ax + b )( cx + d )

다항식의 덧셈 뺄셈

A = 2x + y\\ B = x - 3y \\  \\ \begin{aligned} A - B &= ( 2x + y ) - ( x - 3y ) \\ &= 2x + y - x + 3y \\ &= x + 4y \end{aligned}

다항식의 곱셈

$( A + B )( C + D ) = AC + AD + BC + BD$
전부 전개하지 않고 필요한 항만 계산한다.
$( x^2 - x +2 )( x - 3 )$ 에서 $x^2$ 계수 구하기
$x^2 * ( -3 ) + ( -x ) * x = -4x^2$ 이므로
$x$ 의 계수는 $-4$

곱셈 공식

( a + b + c )^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \\ ( a + b )^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ ( a - b )^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \\ ( a + b )( a^2 - ab + b^2 ) = a^3 + b^3 \\ ( a - b )( a^2 + ab + b^2 ) = a^3 - b^3

곱셈 공식 변형

a^2 + b^2 = ( a + b )^2 - 2ab ← 중요 \\ a^2 + b^2 = ( a - b )^2 + 2ab \\ a^3 + b^3 = ( a + b )^3 - 3ab( a + b ) ← 중요 \\ a^3 - b^3 = ( a - b )^3 + 3ab( a - b ) \\ a^2 + b^2 + c^2 = ( a + b + c )^2 - 2( ab + bc + ca ) ← 중요 \\ ( a + b )^2 - ( a - b )^2 = 4ab ← 중요

역수의 합

\begin{aligned} x + { 1 \over x } &= t \\ x^2 + { 1 \over x^2 } &= t^2 - 2 \\ x^3 + { 1 \over x^3 } &= t^3 - 3t \end{aligned}

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